Exercice n°1
« Les triangles magiques »

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Partie A : Questions préliminaires :

On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

  1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
  2. Quelle la plus grande valeur possible pour leur somme ?
     

Partie B: Les triangles magiques

On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué dans la figure ci-dessous :

On dit que le triangle est S-magique si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur S,
On a dans ce cas :
S = n1 + n2 + n3 + n4 = n1 + n9 + n8 + n7 = n4 + n5 + n6 + n7

On se propose dans cet exercice, de déterminer toutes les valeurs possibles de S.

  1. Dans cette question, on pose n1 = 2, n4 = 5 et n7 = 8
    Compléter le triangle de sorte qu’il soit 20-magique, c'est-à-dire S-magique de somme S = 20.

 

  1. On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.
    1. Prouver qu’on a 45 + T = 3S.
    2. En déduire qu’on a 17 ≤ S ≤ 23
    3. Donner la liste des couples (S , T) ainsi envisageables.
       
  2. Proposer un triangle 17-magique.
     
  3. Prouver qu’il n’existe pas de triangle 18-magique.
    1. Montrer que dans un triangle 19-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
    2. Proposer un triangle 19-magique.
       
  5. Prouver que, s’il existe un triangle S-magique, alors il existe aussi un triangle (40 - S)-magique.
     
  6. Pour quelles valeurs de S existe-t-il au moins un triangle S-magique ?
     

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Exercice N°1 : Corrigé