Exercice n°3 : corrigé
Les nombres « sigma »

1. 69 admet 4 diviseurs positifs :
   1, 3, 23, 69, et 4 ne divise pas 69.
   Donc 69 n’est pas « sigma ».
    
2. Le seul nombre premier « sigma » est 2 car si p est un nombre premier impair, p admet exactement 2 diviseurs positifs, et 2 ne divise pas p.
    
3. Si N est supérieur à 1, impair et « sigma », alors N admet une décomposition en facteurs premiers :
   avec 2 < p₁ < ... p_r, où les a_i sont des entiers non nuls tels que (a₁ + 1) ... (a_r + 1) divise N.
   La décomposition de 2N est alors : , ce qui montre que le nombre de diviseurs de 2N est le double de celui de N.
   Donc ce nombre divise 2N , ce qui prouve que 2N est « sigma ».
    
4. Si N = 1, le cas est trivial : 1 est « sigma » et c’est un carré.
   Si N ≥ 2, N admet une décomposition en facteurs premiers : avec 2 < p₁ < ... p_r, où les a_i sont des entiers non nuls tels que (a₁ + 1) ... (a_r + 1) divise N.
   Cela impose que tous les facteurs a_i + 1 soient impairs, donc que tous les a_i soient pairs :
   il existe β_i tel que a_i = 2β_i.
   Ainsi
   La réciproque est fausse : 25 est un carré parfait impair qui n’est pas « sigma », car 25 admet 3 diviseurs.
    
5. Si p est un nombre premier impair, p^p-1 est impair et admet p diviseurs ;
   comme p divise p^p-1, ce nombre est « sigma ».
   Comme il existe une infinité de nombres premiers, il en résulte qu’il existe une infinité de nombres« sigma ».