Exercice n°3
Les nombres « sigma »

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Prérequis – Dans cet exercice, on suppose connus les deux résultats suivants :
 
bullet il existe une infinité de nombres premiers ;
 
bulletsi un entier N supérieur ou égal à 2 admet la décomposition en facteurs premiers :
N = pa x qb x ...,  où p, q, … sont des nombres premiers distincts, alors le nombre de diviseurs positifs de N est égal à :
N(a + 1) x (b +1) x ...
Par exemple 12 = 22 x 31 admet 3 x 2 = 6 diviseurs : 1, 2, 3, 4 , 6 et 12.

    On dit qu’un nombre entier naturel non nul est « sigma » lorsqu’il est divisible par le nombre de ses diviseurs positifs.
    Par exemple, 12 est « sigma » car il possède 6 diviseurs positifs et 6 divise 12.
    En revanche, 22 n’est pas « sigma » car il possède 4 diviseurs positifs : 1, 2, 11, 22, et 4 ne divise pas 22.

  1. 69 est-il « sigma »? 84 est-il « sigma »?
  2. Un nombre premier peut-il être « sigma » ?
  3. Démontrer que si N est un entier « sigma » impair supérieur à 1, alors l’entier 2N est « sigma ».
  4. Démontrer que si N est un entier « sigma » impair, alors N est nécessairement un carré parfait.
    La réciproque est-elle vraie ?
  5. Démontrer qu’il existe une infinité de nombres « sigma ».
     

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Exercice N°3 : Corrigé