Exercice n°1 : corrigé
La rosace (exercice national)

1. On constate que le motif se retrouve 6 fois dans la rosace.
   Donc l’angle vaut 60°.

2. Question de rayons

   1. Notons D le sommet tel que ACD soit rectangle en D.
      La droite (AC) étant une bissectrice, on a donc , donc .
      Puisque BC = DC, le triangle BCD est donc équilatéral.
      D’autre part donc le triangle ABD est isocèle en B, d’où BD = DA.
      Finalement, on trouve bien AB = BC.
       

   2. Notons E le centre du petit cercle et r le rayon de ce cercle.
      En appliquant le résultat précédent, il vient AE = 2r et comme EB = r, on obtient AB = R = 3r.
       

3. On doit avoir , c’est-à-dire , d’où R = 3. Puis r = 1.
    

4. Si , alors l’autre côté du petit triangle vaut , donc l’aire du petit triangle est .
   D’autre part, on a : , donc l’aire du grand triangle est .
   L’aire de la partie colorée située à l’intérieur du triangle ACD s’obtient en retranchant à l’aire du grand triangle : l’aire du petit triangle, celle du secteur (où F est le point tel que AEF est rectangle en F), et celle du secteur .
   Cette aire est donc égale à : .
   L’aire totale est donc 12a.