Exemples
Il existe au moins un nombre premier dans chaque dizaine, donc on peut transformer tout nombre non premier en nombre premier en modifiant le chiffre des unités.
100 n’est pas premier et 101
est premier, donc 100 est un nombre quasi-premier.
Il existe une infinité de nombres
premiers, donc une infinité de dizaines contenant un nombre premier.
Choisissons un nombre premier dans chacune de ces dizaines, à partir de 10, et
changeons son chiffre des unités en zéro (ou en cinq) ; le nombre obtenu est
différent de 5 et il est divisible par 5, donc il n’est pas premier.
Ces nombres sont donc des nombres quasi-premiers et, étant distincts deux à deux
(car situés dans des dizaines différentes), il y en a une infinité.
Encore des infinités
200 n’est pas premier.
Si l’on veut modifier un chiffre pour obtenir un nombre premier, ce doit être
nécessairement le chiffre des unités (car sinon, le nombre obtenu reste
divisible par 10). Or aucun des nombres 201, 202, …, 209 n’est premier.
Donc 200 n’est ni premier ni quasi-premier.
Le nombre ak = 2310k + 200
n’est pas premier (car divisible par 10). Si l’on veut modifier un chiffre pour
obtenir un nombre premier, ce doit être nécessairement le chiffre des unités
(car sinon, le nombre obtenu reste divisible par 10).
Or, ak + 1, ak + 4 et ak + 7 sont divisibles
par 3, ak + 2, ak + 6 et ak + 8 sont divisibles
par 2, ak + 5 est divisible par 5, ak + 3 est divisible
par 7, et enfin ak + 9 est divisible par 11.
Aucun de ces nombres n’est premier, donc ak n’est pas quasi-premier.
Les nombres
sont deux à deux distincts et forment donc une infinité de nombres qui ne sont
ni premiers ni quasi premiers.
Des nombres à la chaîne
Les nombres {90 ; 91 ; 92 ; 93
; 94 ; 95 ; 96} ne sont pas premiers et on peut obtenir le nombre premier 97
en modifiant leur chiffre des unités.
Ce sont donc des nombres quasi-premiers.
On peut trouver une telle liste d’ordre supérieur à partir de « trous » plus importants dans la répartition des nombres premiers : {114 ; 115 ; … ; 126} est une telle liste d’ordre 13.
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