Exercice n°2
Nombres quasi-premiers
(exercice académique)

    On rappelle qu’un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs. La liste des nombres premiers commence ainsi : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …., et cette liste est infinie. On dit qu’un nombre entier naturel non nul est un nombre quasi-premier si ce nombre n’est pas premier et si, en modifiant un et un seul des chiffres de l’écriture en base dix de ce nombre, on obtient un nombre premier. Par exemple 24 est un nombre quasi premier car il n’est pas premier et 23 est premier.

1. Quelques exemples
   1. Démontrer que tout entier non nul inférieur à 100 est soit premier, soit quasi-premier.
   2. Quelle est la nature du nombre 100 ?
2. Démontrer qu’il existe une infinité de nombres quasi-premiers.
3. Encore des infinités
   1. Démontrer que le nombre 200 n’est ni premier ni quasi-premier.
   2. Soit k un entier naturel. Le nombre 2310k + 200 peut-il être premier ?
      Peut-il être quasi-premier ?
   3. En déduire qu’il existe une infinité de nombres qui ne sont ni premiers ni quasi-premiers.
4. Des nombres à la chaîne
   1. Peut-on trouver une liste de 7 entiers consécutifs qui soient des nombres quasi-premiers ?
   2. Peut-on trouver une telle liste de longueur supérieure à 7 formée uniquement de nombres quasi-premiers ?