Exercice n°3
A la recherche du « chaînonze »
(exercice national)

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On rappelle le critère de divisibilité par 11 d’un nombre inférieur à 999 :
« Un nombre inférieur à 999 est divisible par 11 si et seulement si la somme du chiffre des centaines et des unités moins le chiffre des dizaines vaut 0 ou 11 ».
Ainsi 759 et 99 sont divisibles par 11 car 7 + 9 – 5 = 11 et 0 + 9 – 9 = 0.
On appelle chaînonze une chaîne de chiffres telle que tout nombre formé de trois termes consécutifs de la chaîne est divisible par onze.
Par exemple « 7 5 9 4 » est un chaînonze car 759 et 594 sont divisibles par 11.

 

  1. Quel chiffre peut-on ajouter à droite de la chaîne « 7 5 9 4 » pour la prolonger en un chaînonze ?
  2. Prolonger par la droite le chaînonze « 7 5 9 4 » en un chaînonze de 12 chiffres.
  3. Peut-on le prolonger ainsi indéfiniment ? Quel serait alors le 2010e chiffre ?

    On envisage de partir d’une chaîne de deux chiffres et de la prolonger par la droite en un chaînonze le plus long possible.

  1. Prolonger par la droite les chaînes « 0 9 » et « 9 1 ».
    Que constatez-vous?
    On appelle chaînonze fini un chaînonze qui au bout d’un nombre fini d’opérations ne peut plus se prolonger.
    On appelle chaînonze n-périodique un chaînonze infini constitué d’une séquence de n chiffres se répétant indéfiniment.
  2. On considère la chaîne « a b » où a et b sont deux chiffres.
    On veut savoir si cette chaîne est prolongeable en un chaînonze de trois chiffres et, auquel cas, si un tel prolongement est unique.
    1. Étudier le cas particulier « a a ».
    2. Étudier le cas b = a - 1.
    3. Étudier les autres cas.
  3. Démontrer qu’en prolongeant la chaîne « a b » autant que faire se peut, le chaînonze obtenu est soit fini, soit 6-périodique.

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Exercice N°3 : Corrigé