Exercice n°4
Droites et cercles tangents
(exercice académique)

Partie A

    Le but de cette partie est de déterminer tous les couples d’entiers naturels non nuls qui vérifient l’équation :

 (E) :.

1. On suppose que (a ; b) est un couple d’entiers naturels solution de (E).
   1. Démontrer que .
   2. En déduire qu’il existe un entier naturel non nul n tel que l’on ait et  .
2. Résoudre l’équation (E).

Partie B

1. Deux cercles c₁ et c₂ de centres respectifs B et C, de rayons respectifs b et c sont situés du même côté d’une droite d, tangents à cette droite respectivement en J et K, et tangents entre eux (figure 1).

Démontrer l’égalité .

2.  On reprend la figure 1, et l’on rajoute un cercle c₃ de centre A et de rayon a, qui est tangent à la droite d en I, et tangent extérieurement aux cercles c₁ et c₂ (figure 2)

Démontrer l’égalité .

3. On considère la figure de la question 2.
   1. Donner une infinité de cas où les trois rayons sont des entiers, l’un étant le produit des deux autres.
   2. Donner un cas où les trois rayons sont des entiers et où le rayon du petit cercle est égal à 2010.