Exercice n°4 : corrigé
Droites et cercles tangents
(exercice académique)

Partie A

1. Résolution de l’équation.

   1. Si (a , b) est un couple d’entiers solution (ce qui impose a ≤ b), on obtient la relation cherchée en multipliant les deux membres par et en élevant au carré.

   2. La relation précédente impose à a d’être un carré parfait d’où le résultat.
       

2. Les couples solution sont nécessairement du type précédent, réciproquement, tout couple où n est un entier non nul convient.

Partie B

1. Soit T le point d’intersection de la tangente commune aux deux cercles et de la droite d.
   On a successivement :, et  puisque les tangentes issues de T ont même longueur.
   La relation cherchée en découle.
    

2. D’après ce qui précède, on a . Puisque , il vient : et la relation cherchée en divisant par .
    

3.  

   1. Il suffit de reprendre les solutions de la partie A.

   2. . Il n’existe aucun carré dans la décomposition de 2010 en produit de facteurs, mais le triplet (1,4,4) convenant d’après la partie A, le triplet (2010, 8040, 8040) correspondant à une figure homothétique convient.