Exercice n°3 : corrigé
A la recherche du « chaînonze »
(exercice national)

horizontal rule

  1. Si x est le chiffre à ajouter à droite de la chaîne, on n’a que deux possibilités :
    9 + x – 4 = 0 ou 9 + x – 4 = 11 et seule la deuxième équation donne une solution acceptable, qui est 6, puisqu’un chiffre est un entier positif compris entre 0 et 9.
    D’où la chaîne peut-être prolongée en : « 7 5 9 4 6 ».
     
  2. Si on continue on obtient le chaînonze « 7 5 9 4 6 2 7 5 9 4 6 2 … ».
     
  3. La chaîne « 7 5 9 4 6 2 » se répète constamment.
    On sait 2010 divisible par 6, donc le 2010e terme est 2.
     
  4. Pour « 0 9 » on obtient « 0 9 9 0 2 2 0 9 9 0 2 2 0 9 ». La chaîne « 0 9 9 0 2 2 » se répète constamment.
    Pour « 9 1 » on obtient « 9 1 3 2 » et le chaînonze est « bloqué » car les équations et admettent comme solutions – 1 et 10 qui ne sont pas des chiffres.
     
  5. On trouve :
    1. Si b = a, le prolongement est « a b 0 ».
    2. Si b = a - 1, c’est impossible car les équations a + x – b = 0 et a + x – b = 11 donnent :
      x = – 1 et x = 11– (a – b) = 10 qui ne sont pas des chiffres.
    3. Si b < a - 1, on a le chaînonze « a b (11– a + b) » avec (11 – a + b) qui est bien un chiffre car si a et b sont deux chiffres où b < a - 1, on a – 10 < b – a < – 1 d’où 1 < 11 – a + b < 10.
      Si a < b, « a b (b – a) » avec b – a est bien un chiffre car 0 < b – a < 10.
      Dans tous les cas, le prolongement est soit impossible (cas b = a – 1) soit unique.
       

  6. 1er cas : si a = b
    Si a = b = 0, on obtient « 0 0 0 0 ... » le chaînonze est 1-périodique donc a fortiori 6-périodique.
    Si a = b = 1, on obtient « 1 1 0 » et le chaînonze est fini de longueur 3.
    Si a = b avec a > 1, on obtient « a a 0 (11 – a) (11 – a) 0 a a ... » le chaînonze est 6-périodique sans blocage.

    2e cas : a = b + 1
    la chaîne se bloque et est de longueur 2.

    3e cas : a = 0 et b = 1
    « 0 1 1 0 » est le prolongement en un chaînonze de longueur 4.

    4e cas : 0 < a < b,
    « a b (b – a) (11 – a) (11 – b) (11 + a – b) a b » est le prolongement en un chaînonze 6-périodique ou se bloque d’après la question précédente si
    bulletb – a = b – 1, c'est-à-dire a = 1 et la chaîne est de longueur 3,
    bullet11 – b = 11 – a – 1, c'est-à-dire b = a + 1 et la chaîne est de longueur 5.

    5e cas : Si b = 0 et a > 1
    le prolongement est « a 0 (11 – a) (11 – a) 0 a » et le chaînonze est infini.

    6e cas : Si a > b + 1 > 1
    « a b (11 – a + b) (11 – a) (11 – b) (a – b) a b » le chaînonze est 6-périodique ou se bloque si 11 – a = 11 – a + b – 1, c'est-à-dire b = 1 et la chaîne est de longueur 4.

    On résume tous les cas dans un tableau dans lequel figurent 33 cas de blocage et 67 cas fournissant des chaînonzes infinis et 6 périodiques.

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