Exercice n°1 : éléments de correction
Essuie-glaces (exercice national)
- L’aire demandée en cm2 est
,
soit en valeur approchée 5301 cm2.
- Soit C l’intersection des deux demi-cercles.
Calculons l’aire du triangle équilatéral OO’C de côté de longueur R,
et donc de hauteur :
-->
Calculons l’aire du secteur angulaire d’angle
de
mesure en radians
,
qui est aussi celle du secteur angulaire d’angle 
:
.
Ainsi l’aire de le portion de plan limitée par la corde [OC] et l’arc
sera
:
.
L’aire de la portion de plan commune aux deux demi-disques sera
.
Donc
.
L’aire essuyée par les deux balais est donc celle d’un disque de rayon R privée
de A3,
soit
.
-
donc
soit
.
De même
,
donc
.
Enfin d’après le théorème de Pythagore dans le triangle HOA rectangle en
H,
.
Ainsi OA = OC et donc le triangle AOC est isocèle.
- L’angle dont a tourné le dispositif est la mesure de l’angle
.
En degré elle vaut
avec X comme sur le dessin.
Or les angles
et
sont alternes internes, et le triangle MOP est isocèle ; on en déduit
donc que
.
Donc l’angle géométrique
a
pour mesure 180° - 60° = 120°.
La portion de plan essuyée est celle qui est limitée par les segments
[MN] et [M’N’] et les arcs
et
.
Soient T et T’ les intersections du cercle de centre O passant par M et
les segments [ON] et [ON’]. Le cercle étant invariant par la rotation et
le segment [ON] ayant pour image [ON’],
T a donc pour image T’. Les points M, T et N ont respectivement pour
images M’, T’ et N’, et la conservation des aires par rotation montre
que la portion de plan limitée par [MN], [NT] et l’arc
a
la même aire que celle limitée par [M’N’] [N’T’] et l’arc
.
On peut dire aussi que le système étant rigide, les triangles OMN et
OM’N’ sont isométriques.
Ainsi la portion essuyée a la même aire que celle qui est limitée par
les segments [NT] et [N’T’] et les arcs de cercle
et
.
L’aire de cette portion de plan est donc
Or
et d’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OBH,
L’aire cherchée est donc
.
