Exercice n°1 - Série S
essuie-glace
(exercice national)

    les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes

    On se propose de calculer l'aire de la surface essuyée par plusieurs modèles de balais d'essuie-glace d'un véhicule. On considèrera que les pare-brise sont des surfaces planes.

1. Un premier véhicule est équipé d'un seul balai porté par une tige métallique de 60 cm, modélisée par un segment [OB]. Soit A le point de [OB] tel que DA = 15 cm.
   Le balai en caoutchouc est alors modélisé par le segment [AB] (voir figure 1 ci-dessous).
   Déterminer la valeur exacte de l'aire de la surface essuyée par le balai, en admettant que celui ci décrit autour du point 0 un angle de 180°.
   En donner une valeur arrondie au cm².

Fig. 1

2. Le pare-brise d'un deuxième véhicule possède deux essuie-glace modélisés par deux segments [OB] et [O'B'] de même longueur R, l'un tournant autour d'un point 0, l'autre autour d'un point 0', tels que OO' = R (voir figure 2 ci-après).
   Ces balais en caoutchouc couvrent la longueur totale de chaque segment.
   L'extrémité de chaque segment décrit un demi-cercle au-dessus de la droite (00').
   Déterminer l'aire de la surface du pare-brise essuyée par les balais.

Fig.2

3. Un troisième véhicule est équipé d'un essuie-glace dont le support métallique est modélisé par la réunion de deux segments (voir la figure 3 ci-dessous) : un segment [AB], qui porte le balai en caoutchouc sur toute sa longueur, et un segment [OC] qui relie le centre de rotation 0 à un point C du segment [AB] tels que , et .
   On pose

Fig.3

1.  Démontrer que le triangle AOC est isocèle.
    
2. Lorsqu'il essuie le pare-brise du véhicule, l'essuie-glace tourne autour du point O.
   En début de course, le balai en caoutchouc est en position horizontale : les points A, B et C coïncident respectivement avec les points M, N et P du pare-brise tels que [MN] est horizontal (voir la figure 4 ci-dessous).
   En fin de course, A, B et C coïncident respectivement avec les points M', N' et P' du pare-brise tels que le segment [OM'] est horizontal.
   Déterminer l'angle dont a tourné le dispositif autour du point 0 pour passer d'une position à l'autre puis exprimer en fonction de a l'aire de la surface essuyée par le balai.

Fig. 4