Exercice n°2 : éléments de correction
Nombres complices
(exercice académique)

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  1.  

    1.  
        0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      0 oui oui oui oui oui oui oui oui oui oui oui
      1 oui     oui         oui    
      2 oui       oui            
      3 oui oui       oui     oui    
      4 oui   oui       oui        
      5 oui     oui       oui      
      6 oui       oui       oui    
      7 oui         oui       oui  
      8 oui oui   oui     oui       oui
      9 oui             oui      
      10 oui               oui    

      Ce tableau permet de conjecturer que 0 est complice de tout entier et que tout entier a admet a + 2 et a - 2 comme complices.
       

    2. 0 est complice de 2011 et plus généralement de tout entier a car 0 x a + 1 = 12.
      L’entier 2013 est complice de 2011 car 2013 x 2011 + 1 = 4 048 144 = 20122
       
    3. Soit a un entier supérieur ou égal à 3.
      Outre 0, les nombres a - 2 et a + 2 sont complices de a car a(a - 2) + 1 = (a - 1)2 et a(a + 2) + 1 = (a + 1)2.
       
    1. Soit n un entier non nul donné.
      Alors (n - 1)(n + 1) + 1 = n2 - 1.
      Cela montre que n est associé au couple de complices (n - 1 ; n + 1).
      Ce couple n’est pas unique, tout couple de diviseurs de n2 - 1 convient, comme par exemple (1 ; n2 - 1).
       
    2. Il suffit de déterminer les diviseurs de 20112 - 1 = 4 044 121 = 23 x 3 x 5 x 67 x 503.
      Il y a 32 paires de diviseurs, donc 64 couples.
      Les paires sont :
       
      {1, 4044120} {2, 2022060} {3, 1348040} {4, 1011030}
      {5, 808824} {6, 674020} {8, 505515} {10, 404412}
      {12, 337010} {15, 269608} {20, 202206} {24, 168505}
      {30, 134804} {40, 101103} {60, 67402} {67, 60360}
      {120, 33701} {134, 30180} {201, 20120} {268, 15090}
      {335, 12072} {402, 10060} {503, 8040} {536, 7545}
      {670, 6036} {804, 5030} {1005, 4024} {1006, 4020}
      {1340, 3018} {1509, 2680} {1608, 2515} {2010, 2012}

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