Exercice n°2 - Séries autres que S
Nombres complices
(exercice académique)

    On dit que deux entiers naturels a et b sont complices s'il existe un entier naturel n tel que ab + 1 = n².
    Dans ce cas, on dit que 1’entier n est associé au couple de complices (a, b).

1. Complices d'un entier
   1. Déterminer tous les couples d'entiers complices, compris au sens large entre 0 et 10.
   2. L'entier 2011 admet 2009 comme complice.
      Citer deux autres complices de 2011.
   3. Démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 3 admet au moins trois complices.
       
2. Couples de complices associés à un entier donné
   L'entier 100 admet plusieurs couples d'entiers complices qui lui sont associés.
   Ainsi, les couples (9 ; 1111) et (11 ; 909) sont des couples d'entiers complices associés au nombre 100.
   1. Démontrer que tout entier naturel n non nul admet au moins un couple de complices (a, b) associé, c'est-à-dire tel que ab + 1 = n².
   2. Déterminer tous les couples d'entiers complices associés au nombre 2011.