Exercice n°1 -
Séries autres que S
essuie-glace
(exercice national)
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![horizontal rule](../_themes/copie-de-coup-de-pinceau-mb/loohorsa.gif)
les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes
On se propose de calculer l'aire de la surface
essuyée par plusieurs modèles de balais d'essuie-glace d'un véhicule. On
considèrera que les pare-brise sont des surfaces planes.
- Un premier véhicule est équipé d'un seul balai porté par une tige
métallique de 60 cm, modélisée par un segment [OB]. Soit A le point de [OB]
tel que DA = 15 cm.
Le balai en caoutchouc est alors modélisé par le segment [AB] (voir figure 1
ci-dessous).
Déterminer la valeur exacte de l'aire de la surface essuyée par le balai, en
admettant que celui ci décrit autour du point 0 un angle de 180°.
En donner une valeur arrondie au cm2.
![](images/exercice1_5.gif)
Fig. 1
![horizontal rule](../_themes/copie-de-coup-de-pinceau-mb/loohorsa.gif)
- Le pare-brise d'un deuxième véhicule possède deux essuie-glace modélisés
par deux segments [OB] et [O'B'] de même longueur R, l'un tournant autour
d'un point 0, l'autre autour d'un point 0', tels que OO' = R (voir figure 2
ci-après).
Ces balais en caoutchouc couvrent la longueur totale de chaque segment.
L'extrémité de chaque segment décrit un demi-cercle au-dessus de la droite
(00').
Déterminer l'aire de la surface du pare-brise essuyée par les balais.
![](images/exercice1_6.gif)
Fig.2
![horizontal rule](../_themes/copie-de-coup-de-pinceau-mb/loohorsa.gif)
- Un troisième véhicule est équipé d'un essuie-glace dont le support
métallique est modélisé par la réunion de deux segments (voir la figure 3
ci-dessous) : un segment [AB], qui porte le balai en caoutchouc sur toute sa
longueur, et un segment [OC] qui relie le centre de rotation 0 à un point C
du segment [AB] tels que
,
et
.
On pose
![](images/exercice1_4.gif)
![](images/exercice1_7.gif)
Fig.3
- Démontrer que le triangle AOC est isocèle.
- Lorsqu'il essuie le pare-brise du véhicule, l'essuie-glace tourne
autour du point O.
En début de course, le balai en caoutchouc est en position horizontale :
les points A, B et C coïncident respectivement avec les points M, N et P
du pare-brise tels que [MN] est horizontal (voir la figure 4
ci-dessous).
En fin de course, A, B et C coïncident respectivement avec les points
M', N' et P' du pare-brise tels que le segment [OM'] est horizontal.
Déterminer l'angle dont a tourné le dispositif autour du point 0 pour
passer d'une position à l'autre puis exprimer en fonction de a l'aire de
la surface essuyée par le balai.
![](images/exercice1_8.gif)
Fig. 4
![horizontal rule](../_themes/copie-de-coup-de-pinceau-mb/loohorsa.gif)
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