Exercice n°4 - Série S
Le singe sauteur
(exercice national)

    J'ai un petit singe sauteur qui passe son temps à faire des bonds sur une demi-droite graduée en choisissant d'aller vers l'avant ou vers l'arrière.
    Le nombre n est dit atteignable si le signe peut, en partant de l'origine (position d'abscisse 0), atteindre la position d'abscisse n en exactement n bonds successifs (en avant ou en arrière) de longueurs 1, 2, ..., n (effectués dans cet ordre) et sans jamais sortir du segment [0 ; n]

    Par exemple : le nombre 1 est atteignable en un bond.

    Mais le nombre 2 ne l'est pas car, après avoir fait le bond de longueur 1 (qu'il est obligé de faire vers l'avant), s'il fait un 1 bond de longueur 2 en avant ou en arrière il sort de l'intervalle [0 ; 2].

    Le nombre 3 n'est pas atteignable pour une autre raison : après avoir fait un bond de longueur 1 et un autre de longueur 2 vers l'avant, il est obligé de faire un bond de longueur 3 vers l'arrière (sinon il sort de l'intervalle [0 ; 3]) et se trouve sur le nombre 0 au lieu de 3.

Questions

1.  Montrer que le nombre 4 est atteignable, et ceci d'une seule façon.
    
2. Montrer que le nombre 5 n'est pas atteignable.
    

    On peut montrer de la même façon que les nombres 6, 7 et 8 ne sont pas atteignables ; ce résultat est admis.

3. Le nombre 9 est-il atteignable ?

    Pour la suite, on rappelle que, pour tout nombre entier m, on a :

4. Montrer que tous les nombres entiers qui sont des carrés sont atteignables.
    
5. 1. Montrer que si le nombre entier n est atteignable alors le produit n(n -1) est divisible par 4.
      En déduire une condition sur l'entier n pour qu'il soit atteignable.
       
   2. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?
       
6. On suppose que N ³ 6 et que N est atteignable par une séquence qui commence par 1 + 2 + 3 ...
   Montrer que N+4 est aussi atteignable.