Exercice n°3 -
Série S
Polygones entiers
(exercice académique)
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Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, d'unité 1
cm, on dit qu'un point est entier si ses coordonnées sont des nombres
entiers ; on dit qu'un polygone est entier si ce polygone est convexe
(c'est-à-dire « sans creux ») et si tous ses sommets sont des points entiers.
Pour un polygone entier (P), on note A l'aire en cm2
de ce polygone, C le nombre de points entiers situés sur les côtés du polygone
(sommets compris), et I le nombre de points entiers situés strictement à
l'intérieur du polygone. Le but de l'exercice est de déterminer une relation
entre les nombres A, C et I.
- Déterminer les nombres A, C et I dans les cas suivants :
- (P) est le rectangle de sommet les points (0 ; 0), (10 ; 0), (10 ;
7), (0 ; 7) ;
- (P) est le triangle de sommets les points (0 ; 0), (5 ; 2), (2 ; 4)
;
- (P) est le pentagone de sommets les points (2 ; 0), (7 ; 1), (5 ;
5), (2 ; 5), (1 ; 4).
- Dans cette question, (P) est un rectangle entier dont les côtés sont
parallèles aux axes de coordonnées, et dont les dimensions (en cm) sont
notées n et p (n ³ 1 et p ³ 1
).
Exprimer les nombres A, C et I en fonction de n et p.
En déduire une relation entre A, C et I indépendante de n et p.
- Dans cette question, (P) est un triangle rectangle entier dont les côtés
de l'angle droit sont parallèles aux axes de coordonnées.
Démontrer que la relation entre A, C et I trouvée à la question 2. est
encore valable pour ce triangle.
- Montrer que si la formule précédente est valable pour deux polygones
entiers ayant une frontière commune, elle est encore valable pour le
polygone obtenu en éliminant entre eux cette frontière commune, à condition
que ce nouveau polygone soit lui aussi convexe.
- En déduire que la relation trouvée à la question 2, demeure vraie pour
tout polygone entier.
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