Problèmes de constructions et de lieux géométriques

Tangentes communes à deux cercles tangents (1)

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de décrire et de justifier un procédé de construction d’une tangente non triviale à deux cercles tangents. Le procédé décrit s’adapte à deux cercles non tangents, pourvu qu’ils ne soient pas contenus l’un dans l’autre. Il est cependant élémentaire, et n’utilise que les outils du collège. Il peut être abordé dès la 4^ème, mais semble mieux adapté à la 3^ème ou à la 2^nde.

Soit c et c’ deux cercles de centres respectifs O et O’, et qui ne sont pas de même rayon.
On suppose que ces deux cercles sont tangents extérieurement en I.
Le but de ce problème est de construire une tangente commune à ces deux cercles, qui ne passe pas par le point I.

Sur la figure suivante, on a placé deux points I et A’ sur chacun des deux cercles, de telle sorte que les droites (OA) et (OA’) soient toutes les deux perpendiculaires à la droite (OO’). La droite (AA’) coupe alors la droite (OO’) en un point K.
(Nous admettons que ces deux droites sont sécantes.)

Réaliser la figure, en prenant 5 cm et 2 cm comme rayons respectifs des cercles.

Démontrer que le rapport des longueurs est égal à .
Construire B’ l’un des points d’intersection du cercle c’ avec le cercle de diamètre [O’K].
Que représente la droite (KB’) pour le cercle c’ ?
Justifier la réponse.
La parallèle à la droite (O’B’) passant par le point O coupe la droite (KB’) en un point B.
1. Démontrer que le point B appartient au cercle c.
2. En déduire que la droite (KB’) est également tangente au cercle c en B.
Rédiger une conclusion.