Les moyennes : à quoi ça sert ?

Pesées et moyenne géométrique (2)

Objectif, niveau et difficultés
Ce sujet est l’analogue du précédent ; il reprend la même situation avec un questionnement plutôt adapté à la classe de 2^nde.

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

Préliminaire : la loi d’Archimède

Une loi physique, la loi d'Archimède, dit que la balance ci-dessous est en équilibre si la condition suivante est vérifiée :
, où m et m' sont les masses (exprimées dans la même unité) posées sur chaque plateau, et l et l' sont les longueurs OA et OB des deux fléaux de la balance (l et l' sont aussi exprimés dans la même unité).

Application numérique
Si m = 3 kg, l = 20 cm et l' = 60 cm, calculer m' pour que la balance soit en équilibre.

Problème

On possède une balance du type précédent, et diverses masses marquées ; on souhaite déterminer la masse inconnue d'un objet.
Cette masse est notée x (en kg). La difficulté est que l'on ne peut pas procéder comme ci-dessus car on ne connait pas les longueurs l = OA et l' = OB des fléaux de la balance.
De plus, on ne possède aucun instrument pour les mesurer.
Cependant, on va résoudre le problème grâce aux mathématiques, à l’aide d’une astuce détaillée ci-après : la double pesée.

On réalise une première pesée, où l’équilibre est schématisé ci-dessous.
1. Ecrire l’égalité correspondante.
2. En déduire une expression du quotient
La seconde pesée donne le nouvel équilibre suivant.
1. Ecrire l’égalité correspondante.
2. En déduire une nouvelle expression du quotient .
En utilisant les deux questions précédentes, calculer x.
Dans un problème de double pesée, quel type de moyenne ce problème suggère-t-il de considérer ?
Un objet de masse inconnue m est équilibré par une masse de 3,6 kg lorsqu’il est placé sur le plateau de droite d’une balance, et par une masse de 4,9 kg lorsqu’il est placé sur le plateau de gauche.
Quelle est la masse m de cet objet ?