Les moyennes : à quoi ça sert ?

Plaque moyenne et moyenne quadratique

Objectif, niveau et difficultés
Le problème fait intervenir la notion de moyenne quadratique à partir d’une situation géométrique, déjà entrevue dans le problème 2. Il est envisageable au niveau de la 3^ème car il fait intervenir la notion de racine carrée et, d’autre part, il présuppose la connaissance d’autres types de moyennes que l’élève est censé avoir déjà côtoyées, même si les définitions sont rappelées dans l’encadré initial. Il ne présente pas de difficulté technique remarquable.

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

On possède deux plaques métalliques de formes cylindriques, de même épaisseur e, mais de rayons différents :
R₁ et R₂. (Figure ci-après.)

Nous souhaitons fondre ces deux plaques pour en fabriquer deux autres, de même épaisseur e, et de même rayon R :

On rappelle que le volume d’une cylindre s’exprime par la relation : V = aire de base x hauteur.

Dans cette question, on suppose que R₁ = 18 et R₂ = 24 (en cm).
1. Calculer le volume total de métal utilisé dans les deux premiers jetons.
  (Exprimer ce nombre en fonction de π.)
2. Exprimer en fonction de R et de π la somme des volumes des deux jetons transformés.
3. En déduire que le rayon R des jetons transformés ne dépend pas de l’épaisseur e, et calculer R.
4. Peut-on dire que R est la moyenne arithmétique des nombres 18 et 24 ?
Cas général : dans cette question, R₁ et R₂ sont quelconques.
1. Exprimer le volume total de métal en fonction de R₁ et R₂ , à partir des plaques de départ.
2. Exprimer ce même volume en fonction de R, à partir des deux plaques recomposées.
3. En déduire une expression de R en fonction de R₁ et R₂ .
4. Peut-on dire que R est une moyenne de R₁ et R₂ ?
  Si oui, laquelle ?
Dans ce cas, on donne R₁ = 30 et R₂ = 50 (en cm).
Calculer la valeur exacte de R.