Les moyennes : à quoi ça sert ?

Vitesse et moyenne harmonique

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Objectif, niveau et difficultés
La situation envisagée a déjà été abordée dans les problèmes 1 et 2. Il s’agit d’un prolongement de l’étude au niveau de la classe de Seconde, car on y envisage une étude fonctionnelle. Un devoir à la maison en 3ème est également concevable, à condition de négocier en douceur la question 4 de la 2ème partie, ainsi que la 3ème partie, dont le résultat est intéressant et surprenant.

Vitesse moyenne sur un aller-retour

Julien, qui habite Beaune, décide d’aller à Chagny à pied. 16 km séparent les deux villes. Julien couvre la distance à la vitesse moyenne de 4 km/h.
    Pour revenir à Beaune, il emprunte le vélo de son ami chagnotin. Il effectue alors le retour à Beaune à la vitesse moyenne de 16 km/h.

  1. Quelle est la distance aller-retour parcourue par Julien ?
  2. Quelle est la durée totale du trajet aller-retour ?
  3. En déduire la vitesse moyenne de Julien sur l’aller-retour ?
  4. La vitesse moyenne est-elle la moyenne arithmétique des deux vitesses ?
  5. Vérifier l’égalité :
     
Vocabulaire : on dit que le nombre 6,4 est la moyenne harmonique des nombres 16 et 4.
La moyenne harmonique de deux nombres non nuls a et b est le nombre h vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne harmonique de deux nombres non nuls :

bulleton calcule les inverses de ces deux nombres ;
bulleton calcule la moyenne arithmétique de ces deux inverses ;
bulleton prend l’inverse du résultat obtenu.

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Généralisation

Cette fois, Julien part de Beaune à vélo et roule, au petit bonheur. Il parcourt une distance d (en km) à la vitesse constante a (en km par h).
Il effectue le retour par le même chemin à la vitesse constante b (en km par h).

  1. Quelle est la distance aller-retour parcourue par Julien ?
  2. Quelle est la durée totale du trajet aller-retour ?
  3. En déduire que la vitesse moyenne v de Julien sur l’aller-retour est la moyenne harmonique de a et b.
  4. Démontrer l’égalité : .

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Comment augmenter la vitesse moyenne

Le lendemain, l’infatigable Julien enfourche à nouveau son vélo et parcourt un trajet aller à la vitesse constante de 20 km/h.
Il effectue le retour à la vitesse constante x (en km/h).
On note alors sa vitesse v(x) moyenne sur l’ensemble du trajet aller-retour.

  1. Montrer que v(x) s’exprime par l’égalité : .
  2. À quelle vitesse Julien doit-il rouler sur son trajet retour pour que la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet soit égale à :
    1. 24 km/h ?
    2. 30 km/h ?
    3. 35 km/h ?
      Cette dernière valeur est-elle réaliste ?
  3. Démontrer l’égalité : .
    En déduire que v < 40.
    Interpréter ce résultat.

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