Les moyennes : à quoi ça sert ?

Taux de change moyen, et moyenne harmonique

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Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de présenter une autre situation intéressante faisant intervenir la notion de moyenne harmonique. Les outils mathématiques ne dépassent pas ceux de la classe de 3ème ; cependant, le sujet est ardu car la notion de taux de change est relativement difficile à comprendre. En 3ème, on peut s’en tenir à la première partie, où le travail s’effectue sur un exemple numérique ; l’ensemble du sujet peut être posé en Seconde.

 

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :
bulletla moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
bulletla moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
bulletla moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
bulletla moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

Taux de change moyen

Taux de change moyen dans un cas particulier

  1. À la fin de l’année 2006, désirant se rendre aux Etats-Unis, un touriste français change ses euro (de symbole €) en dollars US (de symbole $).
    Le taux de change €/$ est égal à : a = 1,26.
    Cela signifie qu’avec 1 € il obtient 1,26 $.
    Il désire obtenir 630 $. Combien d’euro doit-il changer ?
     
  2. En février 2008, ce même touriste retourne aux Etats-Unis. Il change l’équivalent en euro de 630 $, mais le taux €/$ a évolué ; il est alors égal à : b = 1,575.
    Combien d’euro a-t-il changés ?
     
  3. On désire calculer le taux de change moyen de l’euro, noté t, sur l’ensemble de ces deux transactions, c’est-à-dire le nombre t de dollars que l’on obtient pour 1 euro.
    1. Quelle somme en euro a-t-on obtenue pour un dollar en 2006 ? et en 2008 ?
    2. En déduire la somme moyenne, en euro, obtenue pour un dollar sur ces deux années.
    3. Calculer alors la valeur de t.
       
  4. Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique des nombres 1,26 et 1,575
    (on donnera, si nécessaire, les valeurs arrondies au millième).
     
  5. Parmi les quatre moyennes précédentes, quelle est celle qui donne la valeur exacte du taux de change moyen ?

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Cas général

Pour vous rendre aux Etats–Unis, vous changez une première fois l’équivalent en euro de 100 $ à un taux €/$ égal à a.
Quelques jours plus tard, vous changez encore l’équivalent en euro de 100 $ mais à un taux €/$ égal à b.

  1. Exprimer, en fonction de a et b, la somme totale, en euro, échangée sur l’ensemble des deux transactions.
     
  2. En déduire, en fonction de a et b, le taux de change moyen de l’euro, noté t.
    1. Vérifier l’égalité : .
    2. Conclure sur le type de moyenne utilisé.

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