Nombres réels et Analyse
Suites - Thème N°6
Pourra-t-on atteindre la lune ?

    Objectif : Ce thème envisage, sous une forme imagée, d’examiner la convergence des « séries » de terme général , puis et .
    Au-delà des démonstrations proposées, les différences de comportement mettent l’intuition en défaut puisque, dans la situation proposée, le volume et l’aire de la pile de cubes sont majorés, alors que la hauteur ne l’est pas. L’aspect étonnant des résultats est donc le moteur de ce problème.
    Deux approches sont proposées : l’une est un appel préalable à l’intuition, l’autre une approche calculatoire à l’aide d’un outil informatique, qui risque fort d’amener une conjecture erronée.

    Niveau et difficultés : Aucune connaissance sur les séries n’est requise, les seuls outils de Terminale S sont mobilisés (suites convergentes et divergentes, suites adjacentes, variation et comparaison des fonctions, fonction logarithme).

    Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul. On fabrique les n premiers cubes dans une matière qui ne produit pas de chute, on les peint sur toutes les faces, puis on les empile. On désigne par :

 Exprimer u_n, v_n et w_n en fonction de n.

A. Etude expérimentale

    A l’aide d’un outil informatique, conjecturer le comportement des suites  (u_n), (v_n) et (w_n), lorsque n tend vers + ∞, et suggérer des réponses aux trois questions posées dans le préambule.

B. Démonstrations

1. Trouvera-t-on suffisamment de matière pour fabriquer les cubes ?

   1. Pour tout n, on pose : .
      Démontrer que les suites (u_n) et (t_n) sont adjacentes.

   2. Etudier la convergence de la suite (u_n).

   3. Conclure.
       

2. Trouvera-t-on suffisamment de peinture pour peindre les cubes ?

   1. Démontrer que, pour tout n ≥ 1 : .

   2. Etudier la convergence de la suite (v_n).

   3. Conclure.
       

3. Pourra-t-on atteindre la lune ?

   1. Soient les fonctions f et g définies sur ] 0 ; + ∞ [ par :
      et .
      Etudier les sens de variation de f et g, et en déduire leurs signes.
       

   2. Pour tout n ≥ 1, on pose :
      a_n = w_n - ln_n et b_n = w_n - ln(n + 1).
      Démontrer que les suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes.
       

   3. Etudier la convergence de la suite (w_n).
       

   4. Pourra-t-on atteindre la lune ?

C. Des valeurs numériques

    Si la réponse à la question précédente est oui, donner une estimation du nombre de cubes à prévoir, du volume de matière nécessaire et de la surface à peindre.