Nombres réels et Analyse
Suites - Thème N°5
De drôles de nombres

    Objectif : Les « drôles de nombres » considérés sont tous des limites de suites, définies de manière non explicite, parfois d’une façon qui peut paraître choquante à l’élève (comme une écriture décimale illimitée ou une succession de radicaux emboîtés). Une première étape sera de poser le problème en terme de suite.

    Niveau et difficultés : Le niveau requis est celui de la Terminale S. Les questions étant très ouvertes afin de stimuler la créativité de l’élève, il est conseillé de prévoir une gestion interactive de ce thème, soit en activité en classe, soit en devoir à la maison comprenant des échanges avec le professeur.

1.  
   1. Quel sens peut-on donner à l’écriture : 0,999999… ?
   2. L’égalité : 0,999999… = 1 est-elle vraie ?
       
2. De même, si le nombre 0,2007 2007 2007 … a une signification,
   écrire plus simplement ce nombre.
    
3. On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n non nul par :
   
   (u_n s’écrit avec n radicaux emboîtés).
   La suite (u_n) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
4. Soit (a_i) une suite de nombres réels telle que pour tout entier i > 0, le coefficient a_i vaut 0 ou 1.
   On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n non nul par :
    ;
   La suite (v_n) est-elle convergente ?