Nombres réels et Analyse
Suites - Thème N°8
Les suites « chapeau de clown »

    Objectifs : Le but de ce problème est d’étudier une suite définie par récurrence (question 2), de mettre en évidence que cette suite est périodique lorsque son premier terme est rationnel (question 2), puis de démontrer ce résultat (question 3). Dans les questions 4 et 5, on envisage la réciproque de cette propriété, dont la démonstration repose sur certains résultats préliminaires établis dans la question 1.

    Niveau et difficultés : Les outils utilisés sont les fonctions affines, la notion de composée, les suites définies par récurrence, la notion de nombre rationnel. Le problème est donc abordable en 1^ère S.
    L’usage d’un tableur est recommandé.
    Certaines questions font appel au programme de Terminale, comme la notion de fonction continue en 1.d), le raisonnement par récurrence en 1.e), 3.c) ou 4.d). Ces difficultés peuvent être contournées en se contentant de l’idée du raisonnement.
    Les questions 1.d) et 1.e), qui sont techniquement plus difficiles, peuvent être admises.

1. La fonction « chapeau de clown » et ses composées

    La fonction « chapeau de clown » f est définie sur [0, 1] par : .

1. Montrer que pour tout x de [0, 1], on a :f(x) € [0, 1], et représenter graphiquement la fonction f.
   (La fonction doit son nom à la forme de sa représentation graphique.)
    

2. Donner une expression de la fonction sur chacun des quatre intervalles , , , , puis représenter graphiquement la fonction .
    

3. Plus généralement, on note , et, pour tout p ≥ 1 :.
   (Ainsi, f_p est la composée de f par elle-même, et ce, p fois.)
    

4. Soit p un entier naturel non nul.
   Montrer que f_p est continue sur [0 ; 1] et que pour tout entier naturel m compris entre 0 et 2^p , est égal à 0 si m est pair, et à 1 si m est impair.
    

5. Soit p un entier naturel non nul.
   Montrer, par récurrence sur l’entier p, que pour tout entier m compris entre 0 et 2^p - 1, la restriction de la fonction f_p à l’intervalle est une fonction affine à coefficients entiers.
   (Autrement dit, il s’agit de prouver qu’il existe deux entiers naturels a_p,m et b_p,m tels que l’on ait, pour tout réel x de l’intervalle : .
   Pour établir la propriété au rang p + 1, on pourra remarquer que f_p + 1(x) est égal soit à f_p(2x) soit à f_p(2-2x).)

2. Les suites « chapeau de clown » : première investigation

    On appelle suite « chapeau de clown » une suite (u_n) dont le premier terme u₀ appartient à [0 ; 1] et qui vérifie, pour tout entier n : u_n + 1 = f(u_n).

1. Quelle est la suite « chapeau de clown » correspondant à u₀ = 0 ?
   Quelle est celle correspondant à u₀ = 1 ? à ?

2. Lorsque , utiliser 1.a) pour représenter graphiquement les termes de la suite.
   Vérifier que la suite est périodique et préciser sa période.
    

3. Dans chacun des cas suivants, vérifier que la suite obtenue est encore périodique et déterminer sa période :
   
   (On pourra utiliser un tableur, en mettant les cellules au format fractionnaire.)
    

4. Soit k un entier fixé (k ≥ 1 ).
   Écrire la liste de toutes les valeurs de la suite pour .
   De même pour .
    

5. Peut-on déterminer u₀ de façon à obtenir une suite périodique de période 4 ?
   Une suite périodique de période k (k étant un entier naturel quelconque) ?

3. Cas d’un premier terme rationnel

    On suppose dans cette question que u₀ est rationnel, c’est-à-dire que u₀ peut s’écrire sous la forme d’une fraction , avec a et b entiers naturels.

1. Montrer que tous les termes de la suite « chapeau de clown » correspondante sont rationnels.
   Que peut-on dire de leurs dénominateurs ?
    

2. Montrer qu’il y a dans la suite (u_n) au moins deux termes égaux.
    

3. En déduire qu’à partir d’un certain rang la suite est périodique, de période inférieure ou égale à .
   Peut-on avoir une période égale à   ?

4. Cas d’un premier terme irrationnel

    On suppose que (u_n) est rationnel pour un entier n supérieur ou égal à 1.

1. Quelles sont les valeurs possibles de u_n - 1 ?
   En déduire que u_n - 1 est rationnel.
    

2. Montrer alors que tous les termes de la suite sont rationnels.
    

3. Si u₀ est irrationnel, que peut-on dire de tous les termes de la suite ?

5. Caractérisation des suites périodiques

    On suppose dans cette question que la suite est périodique de période p ( p ≥ 1 ), à partir du rang k, c’est-à-dire que pour tout entier naturel n ≥ k, on a : u_n + p = u_n.

1. Montrer que u_k = f_p(u_k), la fonction f_p étant celle définie en 1.b).
    

2. En déduire que u_k est un nombre rationnel.
    

3. À l’aide des questions précédentes, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le premier terme pour qu’une suite « chapeau de clown » soit périodique.