Nombres réels et Analyse
Fonctions - Thème N°9
Exemples et contre-exemples de fonctions sous contraintes.

    Objectif : Voilà un thème qui fait essentiellement appel à l’imagination. Il requiert une bonne connaissance du cours, mais surtout la faculté de mobiliser un certain nombre d’images mentales liées à l’aspect graphique de certaines propriétés. Pour la plupart des questions, on peut même se contenter d’une réponse graphique, une formule explicite peut venir dans un deuxième temps.

    Niveau et difficultés : Le thème s’adresse aux élèves de Terminale S, il est tout indiqué pour effectuer une synthèse sur la compréhension des notions de continuité et de dérivabilité. Les questions 6 et 8 sont délicates si l’on exige une expression de , mais très raisonnables si l’on s’en tient à un dessin.

    Dans chacun des cas suivants, donner un exemple de fonction f vérifiant les conditions indiquées.

1. f est définie et continue sur R, strictement croissante et bornée ;
    
2. f est une fonction définie et continue sur R, positive et strictement décroissante ;
    
3. f est définie et continue sur R, impaire et périodique de période 1 ;
    
4. f est définie sur R, mais discontinue en chaque valeur entière de la variable ;
    
5. f est définie et continue sur R, mais pas dérivable en chaque valeur entière de la variable ;
    
6. f est définie sur ]0, 1] et, pour tout n entier naturel, f est continue sur l’intervalle  mais discontinue en   ;
    
7. f est définie et continue sur [0 , +¥[ , bornée sur [0 , +¥[ , mais n’a pas de limite en +¥ ;
    
8. f est définie et continue sur [0 , +¥[ , et pour tout entier n, la fonction est croissante sur [2n , 2n+1[ et décroissante sur [2n+1 , 2n+2[ ;
    
9. f est continue et strictement croissante sur R et vérifie :  ;
    
10. f est continue et strictement positive sur R et vérifie : .