Objectif, niveau et difficultés Une étude géométrique originale constitue le premier point fort de ce problème ; il s’agit de calculer la longueur d’un segment particulier dans un trapèze : le segment parallèle aux bases et passant par le point d’intersection des diagonales. Le lien avec la moyenne harmonique est alors établi : c’est le deuxième intérêt de l’étude. Ce problème est abordable avec une classe de 3ème de bon niveau, ou en classe de Seconde. |
Un bricoleur désire faire des travaux dans sa maison de campagne, schématisée
ci-contre (la figure n’est pas en vraie grandeur…). Il dispose deux échelles [AC] et [BD], l’une contre l’autre, comme le montre la figure. Elles se "croisent" en un point M. Les points K, M et L sont alignés. |
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Notre bricoleur mesure 1,75 m et il se pose des questions :
À quelle
hauteur se croisent les deux échelles ? Peut-il passer sous les échelles sans se baisser ? | |
S’il monte s’installer au point M, pourra-t-il atteindre le toit ? Ou, au contraire, sera-t-il obligé de s’accroupir ? | |
S’il désire poser une
cloison joignant les points K et L, quelle serait sa hauteur ? |
Sur la figure ci-contre, ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD]. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point M. La parallèle à (AB) passant par M coupe les côtés [AD] et [BC] respectivement en K et L. On note :AB = a et CD = b. Le but du problème est de calculer la longueur KL, uniquement en fonction de a et b. |
Note : du fait de la propriété établie dans la question 5, on peut qualifier le segment [KL] de « base moyenne » du trapèze.