Comment aider les élèves les plus faibles ?
Exemple 1
d’après Journées collège 2008-2009
Académie de Besançon

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Sur la figure ci-contre, c est un cercle de centre O, de diamètre [AB].
La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle en deux points E et D, et coupe le segment [OA] en H.
Les droites (FH) et (AD) se coupent en K, la droite (OK) coupe le segment [AF] en I.

Démontrer que le point I est le milieu du segment [AF].

     Donné tel quel en classe ou à la maison, cet énoncé est très ouvert. Le professeur peut prévoir un certain nombre d’aides, sous forme de questions, comme par exemple :

bulletque représente la droite (AD) dans le triangle OAF ?
bulletque représente la droite (FH) dans le triangle OAF ?
bulletque représente le point K dans le triangle OAF ?

    Il peut être prolongé pour les meilleurs élèves en demandant la nature du triangle OAF, du triangle OHD, enfin en demandant de démontrer le parallélisme des droites (ID) et (AB).

    On peut aussi envisager une différenciation de l’énoncé par « groupes de niveaux », les questions étant plus ou moins progressives. Voici un exemple, avec trois groupes :

Groupe 1

Soit un cercle c de centre O, de diamètre [AB].
La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle c en deux points E et D et coupe [OA] en H.
Soit F le symétrique du point O par rapport au point D.

  1. Quelle est la nature du triangle AOF ? Le démontrer.
  2. Les droites (FH) et (AD) se coupent en K et (OK) coupe [AF] en I.
    Démontrer que le point I est le milieu du segment [AF].
  3. Quelle est la nature de AEOD ? Le démontrer.

 

Groupe 2

Soit un cercle c de centre O, de diamètre [AB].
La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle c en deux points E et D et coupe [OA] en H.
Soit F le symétrique du point O par rapport au point D.

  1. Démontrer que (HD) est parallèle à (AF).
  2. Quelle est la nature du triangle AOF ? Le démontrer.
  3. Les droites (FH) et (AD) se coupent en K et (OK) coupe [AF] en I.
    Que représente (FH) pour le triangle AOF ? Le démontrer.
  4. Que représente (OI) pour le triangle AOF ?
    En déduire que le point I est le milieu du segment [AF].

 

Groupe 3

Soit un cercle c de centre O, de diamètre [AB].
La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle c en deux points E et D et coupe [OA] en H.
Soit F le symétrique du point O par rapport au point D.

  1. Démontrer que H est le milieu de [OA] et que (ED) est perpendiculaire à (OA).
  2. Démontrer que (HD) est parallèle à (AF).
  3. Démontrer que le triangle AOF est rectangle en A.
  4. Les droites (FH) et (AD) se coupent en K et (OK) coupe [AF] en I.
    1. Que représente (FH) pour le triangle AOF ?
    2. Que représente (AD) pour le triangle AOF ?
    3. Que représente (OI) pour le triangle AOF ?
    4. Que représente le point I pour le segment [AF] ?

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