Considérons l’exercice suivant : « Calculer
».
Posée ainsi, la question
est verrouillée et l’on n’attend qu’une réponse univoque, étayée à l’aide d’un
calcul. Une capacité principale est mise en jeu : celle de savoir calculer
correctement la somme ou la différence de fractions n’ayant pas le même
dénominateur. On peut bien entendu proposer une aide (ou une vérification) aux
élèves mal assurés, en les incitant à utiliser un dessin. Il est cependant plus
intéressant de mettre ce calcul dans un contexte, comme par exemple :
« Maxime
dépense le tiers de son argent de poche en sorties et le quart en achat de
cédéroms. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il ? ».
Posé ainsi,
ce problème est plus difficile, mais on peut y voir trois avantages principaux.
D’abord, la motivation est incomparablement plus importante, on remplace une
gamme calculatoire dépourvue de sens par un problème évocateur. Ensuite, la
résolution est plus riche en compétences : on peut y développer de l’autonomie,
de l’initiative (comme par exemple en prenant un nombre de base), et il y a une
part de modélisation (ou de « décontextualisation ») non négligeable. Enfin, dès
lors que le problème brut est posé, le professeur peut envisager de le mettre à
la portée de chacun en identifiant les éventuels blocages pour proposer des
pistes plus individualisées pour démarrer, ou même un questionnement collectif
après avoir dégagé les étapes de résolution avec la classe : une vraie
différenciation est possible.
Il en est de même avec le problème de géométrie suivant :
« Soit [AB] un
diamètre d’un cercle de centre O et J un point quelconque de ce cercle, distinct
de A et B. La parallèle à la droite (OJ) menée de B coupe la droite (AJ) en C.
Quelle est la nature du triangle ABC ? »
Ce problème ouvert se prête à différents abords, y compris un abord expérimental sur ordinateur qui permet de conjecturer la propriété voulue. Les méthodes de résolution sont multiples, ainsi que les aides que l’on peut distiller aux élèves. Il serait réducteur à tous points de vue (perte de motivation, sclérose pédagogique, …) de tout verrouiller dans un questionnement préalable du type :
 | a) Démontrer que BC = 2 xOJ; |
| b) Démontrer que AB = 2 xOJ; |
| c) En déduire que le triangle ABC est isocèle en B. » |
Nous retenons de ces exemples que le problème contextualisé, de même que le problème ouvert, offrent davantage de pistes de différenciation. Les indications prématurées, de même que les étapes d’un questionnement, qui sont pourtant données pour aider les élèves, induisent en fait une stratégie de résolution experte qui demeure hors de portée pour certains. En fait, ces indications préalables privent les élèves les plus faibles de toute activité mathématique et, simultanément, ôtent aux bons élèves la possibilité de faire preuve d’initiative.